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By Klaus Niederdrenk

Die diskrete Fourier-Transformation als Hilfsmittel ist weit verbreitet. Auf modernen Rechenanlagen wird sie sehr effizient eingesetzt und ist in wichtigen Anwendungsgebieten aus Naturwissenschaft und Technik nicht mehr wegzudenken. Bei der endlichen Fourier-Analyse geht guy davon aus, daB das vorliegende sign als eine Oberlagerung von harmonischen Sinus- und Kosinusschwingun gen mit unterschiedlichen Frequenzen darstellbar ist. Die endliche Fourier Transformation ordnet diesem sign bestimmte Koeffizienten zu, namlich die Amplituden der einzelnen harmonischen Schwingungen. Anhand dieser Koeffi zienten kann guy zum Beispiel sehen, wie stark bestimmte Schwingungen in dem sign vertreten sind. Die Betrage dieser Koeffizienten lassen sich graphisch darstellen; guy erhalt das Amplituden-Spektrum, das zum Beispiel so aussehen kann: JU, v I -- - Ih- -'---'- Vz v3 Auf der Abszisse sind die Frequenzen v, die ganzzahligen Vielfachen einer bestimmten Grundfrequenz, aufgetragen, und die Ordinatenwerte geben die Am plituden der Schwingungen mit den entsprechenden Frequenzen in dem analysier ten sign wieder. Von Interesse sind haufig diejenigen harmonischen Schwin gungen, die besonders stark in dem analysierten sign vertreten sind. 1m obigen Beispiel ist dies die Schwingung mit der Frequenz vI; etwas mehr be deutend als die Ubrigen Schwingungen sind aber auch die beiden mit den gegen Uber vI niedrigeren Frequenzen v2 und v3 und die beiden mit den gegen Uber vI hoheren Frequenzen v4 und v . Der Frequenz vI kommt haufig five besondere Bedeutung zu, da die bei weitem dominierende Schwingung in dem sign diese Frequenz hat. So kann es sich dabei urn die Resonanzfrequenz oder Eigenfrequenz handeln.

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B. vom Bildrand wahlt. 00 AUSSAGEN FOR DlSKRET GEGEBENE FUNKTIONEN Die benutzt zur naherungsweisen Berechnung der Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion f -2TTi (k ~ + l l ) 1 X1 V fA(k,l) = Xf y f f(x,y) e X Y dy dx o 0 wieder die aquidistant zusammengesetzte Rechteckregel bzw. aquidistant zusammengesetzte Trapezregel. Dazu unterteilt man die Intervalle [O,X] und [O,V] in M bzw. N gleichgroBe Teilintervalle der Lange X/M und V/N und wertet den Integranden nur noch in den diskreten Gitterpunkten (xm'Yn) = (m X ,n V ), m=0,1, ••• ,M-1 aus.

Vom Bildrand wahlt. 00 AUSSAGEN FOR DlSKRET GEGEBENE FUNKTIONEN Die benutzt zur naherungsweisen Berechnung der Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion f -2TTi (k ~ + l l ) 1 X1 V fA(k,l) = Xf y f f(x,y) e X Y dy dx o 0 wieder die aquidistant zusammengesetzte Rechteckregel bzw. aquidistant zusammengesetzte Trapezregel. Dazu unterteilt man die Intervalle [O,X] und [O,V] in M bzw. N gleichgroBe Teilintervalle der Lange X/M und V/N und wertet den Integranden nur noch in den diskreten Gitterpunkten (xm'Yn) = (m X ,n V ), m=0,1, ••• ,M-1 aus.

15) durch den gleichfrequenten Schwingungsanteil 1{ - "2" e 2 . Mx 2 . Mx TTl 2X + e TTl Mx 2X1 J = cos (2TT 2 X) . 18 b) (M) ak M-l f~(O) = ~ L f(x m) m=O 1 M-l m Re(f"M(k)) = -M L f(x m) cos (2TTk M) m=O M-l ~ I f(X m) sin (2TTk b(M) = - Im(f"(k)) = k M m=O m M) x;) und die Interpolationseigenschaft bleibt wegen sin(2TT ~ = sin(mTT) = 0 erhalten. 17) -if~(- ~) sin(2TT ~ 1) =- i M sin(2TT "2" X) M1 M-lL m=O (_I)m f(x m) unterdrUckt. 8) die ersten Fourierkoeffizienten gleich; die endliche Reihe wird nur urn einige Glieder erweitert.

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