By Norbert Klingen
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33) eine Erzeugung von A aus zwei passenden Elementen. Wir gehen aus von der Primzerlegung r PnP = A= P∈PK PnP = PnP i=1 P|pi p∈Pk P|p wobei wir die Primzerlegung nach den darunter liegenden Primidealen von k sortiert haben; die pi sind paarweise verschieden. ). Also kann man in S zun¨ achst ein a und dann ein b w¨ ahlen mit r aS = i=1 P|pi r bS = i=1 P|pi PnP · PnP · s PaP = A · C1 j=r+1 P|pj s P0 j=r+1 P|pj · t l=s+1 P|pl PbP = A · 1 · C2 Dabei sind nach Konstruktion die Ideale Ci teilerfremd und daher aS + bS = ggT(aS, bS) = ggT(AC1, AC2) = A .
Wir wollen nun die Einschr¨ ankung von λ auf die Einheitengruppe UK untersuchen. 23) Proposition: Sei K ein Zahlk¨ orper mit der Signatur (r, s) und UK die Einheitengruppe seines Ganzheitsringes. Dann induziert die Logarithmenabbildung λ einen Gruppenhomomorphismus λ |UK : UK → IRr+s , dessen Kern die Einheitswurzelgruppe µK ist und dessen Bild λ(UK ) in der Hyperebene r+s H := {(xi )i ∈ IR r+s | xi = 0} (Spur-0-Hyperebene) i=1 liegt. Beweis: ζ ∈ µK =⇒ 1 = ζ n =⇒ 0 = nλ(ζ) =⇒ λ(ζ) = 0. 12)), ist die Menge τ IR.
Acn−i + cn−i+1 = ai−1 + aj cn−j+1 . ) und auf der Hauptdiagonalen lauter Einsen, also Determinante 1 und somit invertierbar u ¨ber R. Also gilt R[a] ∗ = n−1 n−1 1 1 · ⊕ Rbj = · ⊕ Raj . f (a) j=0 f (a) j=0 b) Wegen R[a] ⊂ S gilt S ∗ ⊂ (R[a])∗ = dung DK|k = (S ∗)−1 ⊃ f (a)S. 1. 1 f (a) R[a] ⊂ 1 f (a) S und daher durch Inversenbil- Ein weiteres wichtiges Berechnungsbeispiel betrifft Diskriminanten u ¨ber Q. 19) Proposition: Sei K ein algebraischer Zahlk¨ orper. 18), und dem Zusammenhang mit der (Absolut-) Norm.