By Daniel Plaumann

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X n ]. Wir wollen wissen, ob die Varietät V(I) endlich ist und, falls ja, wollen wir diese endlich vielen Punkte ausrechnen. Im Prinzip kann man das durch Elimination erreichen. Fixiere die lexikographische Ordnung. Diese ist eine Eliminationsordnung für x , . . , x j , für jedes j = , . . , n. Sei G eine Gröbnerbasis von I. Wie wir gesehen haben, gilt dann I ∩ k[x j , . . , x n ] = ⟨G ∩ k[x j , . . , x n ]⟩ für j = , . . , n. Wenn V(I) endlich ist, dann auch die Projektion auf die letzten n − j +  Koordinaten.

N} Dabei entscheidet bei gleichem Grad also der letzte verschiedene Eintrag, aber in umgedrehter Richtung (deshalb ’revers’). Das sieht ein bißchen gekünstelt aus. 7). B. Macaulay und Singular). 3). 8. Es sei ⩽ eine totale Ordnung auf Z+n , welche die Eigenschaft (1) aus Def. 7 erfüllt. h. jede nicht-leere Teilmenge von Z+n hat ein kleinstes Element; (iii) jede absteigende Folge α ⩾ α ⩾ α in Z+n wird stationär. Beweis. (i)⇒(ii). Sei ⩽ eine Monomordnung und sei T ⊂ Z+n eine nicht-leere Teilmenge.

Eine Gröbnerbasis G heißt minimal, falls LM(h) ∤ LM(g) für alle g ≠ h in G. Nach dem obigen Lemma können wir eine Gröbnerbasis, die wir etwa mit dem BuchbergerAlgorithmus erzeugt haben, sehr leicht so lange ausdünnen, bis sie minimal ist. 25. Für jede minimale Gröbnerbasis G eines Ideals I ist LM(G) die Menge der bezüglich ⩽ minimalen Monome in L(I). Insbesondere haben alle minimalen Gröbnerbasen von I (bezüglich derselben Monomordnung) dieselbe Länge. Beweis. Die minimalen Monome von LM(I) müssen für jede Gröbnerbasis G offenbar in LM(G) enthalten sein.